Η ανάλυση για την πορεία του Στέφανου Τσιτσιπά

Πώς ομαδοποιήσαμε 1.602 διαφορετικούς αθλητές τένις, για να βρούμε με ποιους «μοιάζει» ο Στέφανος Τσιτσιπάς και να προβλέψουμε τη διαδρομή του κατά την επόμενη δεκαετία, με την εφαρμογή απλών τεχνικών μηχανικής μάθησης και στατιστικής.

Συλλογή δεδομένων

Αναλυση Δεδομενων

Τι λέει η στατιστική για την καριέρα του Στέφανου Τσιτσιπά

16.11.2020

Με ποιους αθλητές μοιάζει ο 22χρονος διεθνής και πώς θα διαμορφωθεί η πορεία του την επόμενη δεκαετία.

Η συλλογή πρωτογενών στοιχείων έγινε τον Μάρτιο 2020 από την ιστοσελίδα Ultimate Tennis Statistics, η οποία φέρει Creative Commons άδεια χρήσης (CC BY-NC-SA 4.0) και βασίζεται σε ανοιχτά λογισμικά τα οποία είναι διαθέσιμα στο GitHub. 

Συγκεκριμένα, συγκεντρώσαμε τα ετήσια δεδομένα, από το 2000 ως τον Μάρτιο 2020, για την κατάταξη των αθλητών σε παγκόσμιο επίπεδο, από τις σχετικές λίστες κατάταξης της Ένωσης Επαγγελματιών Αντισφαιριστών (Association of Tennis Professionals, ATP), όπως αυτές είναι δημοσιευμένες στην ιστοσελίδα Ultimate Tennis Statistics. Στη συνέχεια, αντλήσαμε δεδομένα προφίλ, τα οποία είναι δημοσιευμένα στην ίδια ιστοσελίδα, για 3.912 μοναδικούς αθλητές τένις που περιλαμβάνονται στις εν λόγω λίστες. 

Ενδεικτικά, όπως φαίνεται από τη σελίδα για το προφίλ του Στέφανου Τσιτσιπά, τα εν λόγω «δεδομένα προφίλ» κάθε αθλητή, μεταξύ άλλων, περιλαμβάνουν πληροφορίες για την ηλικία του παίκτη, το έτος εκκίνησης επαγγελματικής σταδιοδρομίας, τις σεζόν δραστηριότητας, το «backhand» του, την αγαπημένη του αγωνιστική επιφάνεια, το ύψος των αμοιβών βραβείων που έχει εισπράξει, τους τίτλους τους οποίους έχει κερδίσει, τη διαχρονικά υψηλότερη και την ισχύουσα θέση του στην παγκόσμια κατάταξη, τη βαθμολογία του σε κλίμακα ELO κλπ.

Στόχος ήταν να κάνουμε εκτιμήσεις για την πορεία συγκεκριμένων παικτών –του Στέφανου Τσιτσιπά, με την αξιοποίηση δεδομένων για τη διαδρομή «όμοιων» αθλητών. Xρησιμοποιήσαμε τα διαθέσιμα στοιχεία, προκειμένου να δημιουργήσουμε ένα ενιαίο σύνολο δεδομένων (dataset), με σειρά μεταβλητών για κάθε παίκτη, τις οποίες θα μπορούσαμε να αναλύσουμε στατιστικά, ώστε να ομαδοποιήσουμε τους αθλητές, με βάση τον βαθμό ομοιότητάς τους, και να κάνουμε προβλέψεις για τη δυνητική διαδρομή τους. 

Καθαρισμός δεδομένων

To σύνολο δεδομένων, που δημιουργήθηκε ως σύνθεση των παραπάνω στοιχείων, θα μπορούσε να περιγραφεί ως ένας πίνακας με n αριθμό γραμμών και p αριθμό στηλών: κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε έναν αθλητή και κάθε στήλη αντιστοιχεί σε καθεμία από τις μεταβλητές προς ανάλυση, περιέχοντας τις ανάλογες τιμές. 

Πριν να προβούμε σε οποιαδήποτε στατιστική ανάλυση, υπολογίσαμε πόσες ελλείπουσες παρατηρήσεις («missing values») αντιστοιχούν στις γραμμές και τις στήλες του dataset. Βρήκαμε ότι, σε αρκετές περιπτώσεις γραμμών και στηλών, οι κενές τιμές αναλογούσαν σε περισσότερο από το 50% των περιεχομένων τους. Επομένως, διαγράψαμε αυτές τις γραμμές και στήλες, που δεν θα μπορούσαν να παράσχουν παρά αμελητέα πληροφορία. Το αποτέλεσμα ήταν ένα τελικό σύνολο δεδομένων, με 1.602 γραμμές (παίκτες) και 20 μεταβλητές (ονόματα και χαρακτηριστικά παικτών). 

Σε αυτό το dataset, οι υπόλοιπες ελλείπουσες τιμές (όσες διατηρήθηκαν μετά τη διαγραφή γραμμών και στηλών με κενές τιμές σε περισσότερο από το 50% των δεδομένων τους) συμπληρώθηκαν με την εφαρμογή τεχνικών στατιστικής μηχανικής μάθησης και με τη χρήση της στατιστικής γλώσσας προγραμματισμού R. 

Διαχείριση κενών τιμών

#clear the R environment
rm(list = ls())
#load the MissForest R library to impute the dataset
library(missForest)
#read data for imputation 
cleaned_data = read.csv("cleaned_raw_data.csv")
#remove some unused variables 
mydata = cleaned_data[,2:6,8:10]
#log and logit transformations when needed
mydata[,c(1:2)] = log(mydata[,1:2])
mydata[,c(3:5)] =log(mydata[,c(3:5)]/(1-mydata[,c(3:5)]))
#impute missing values
mydata.imp <- missForest(mydata)$ximp

Εύρεση ομοιότητας μεταξύ αθλητών

#clear the R environment
rm(list = ls())
#load R libraries
library(missForest)
library(KRLS)#to compute RBF
library(irlba) #to compute partial eigen decomposition
library(spam)#to facilitate linear algebra computations
library(spam64)#to facilitate linear algebra computations

#read and clean the data
cleaned_data = read.csv("cleaned_raw_data.csv") 
names = cleaned_data$names
mydata = cleaned_data[,2:6,8:10] 

#log and logit transformations
mydata[,c(1:2)] = log(mydata[,1:2])
mydata[,c(3:5)] =log(mydata[,c(3:5)]/(1-mydata[,c(3:5)]))

#impute missing values
mydata.imp <- missForest(mydata)$ximp

#compute similarity matrix
mysimils =gausskernel(mydata.imp, sigma=1) #introduce sparsity to facilitate linear algebra computations by setting low similarities equal to 0
mysimils[which(mysimils<=10^(-5))]=0 

#compute regularized Laplacian of similarity matrix
diag(mysimils) =0
N= dim(mysimils)[1]
DD = rep(NA,N)
for(i in 1:N) DD[i] = sum(mysimils[i,])

DD = DD + mean(DD)
myd =diag.spam(1/sqrt(DD))
tSimils =myd%*%mysimils%*%myd

#compute partial spectral decomposition of Laplacian
K=150
myeigen = partial_eigen(as.dgCMatrix.spam(tSimils), n =K, symmetric = TRUE)
U = myeigen$vectors

#normalize eigenvectors to have unit length
scalar1 <- function(x) {x / sqrt(sum(x^2))}
Ustar = matrix(NA,dim(U)[1],dim(U)[2])
for(i in 1:dim(U)[1]){
  Ustar[i,] = scalar1(U[i,])

#run k-means
km = kmeans(Ustar,centers = 150,iter.max = 1000)

#find Tsitsipas cluster
size_clsts = km$size
clsts = which(size_clsts>=2)
same_players =list()
tsitsipas_clst=rep(0,length(clsts))
for(i in 1:length(clsts)){
  same_players[[i]] =  which( km$cluster==clsts[i] ) 
  if(length(  intersect(same_players[[i]],which(names=="Stefanos Tsitsipas")))>0)
  {
    tsitsipas_clst[i] = 1
  }
}
select_tsitsip_clst = same_players[[which(tsitsipas_clst>0)]]
select_tsitsip_clst=select_tsitsip_clst[-5] #we exclude the fifth member of the cluster because he seems to be an outlier due to two injuries that he had and he stopped and started again
tsitsipas_clst_data = cleaned_data[select_tsitsip_clst,]
tsitsipas_clst_names = names[select_tsitsip_clst]

Η μέθοδος των προβλέψεων

Με δεδομένο ότι το ερευνητικό ερώτημα είναι ποιες θέσεις ο Στέφανος Τσιτσιπάς μπορεί να κατέχει στην παγκόσμια κατάταξη στο μέλλον και ότι ο ίδιος έχει, ως στιγμής, πενταετή πορεία, δημιουργείται μοντέλο πρόβλεψης, με ορίζοντα δεκαετίας, εφαρμόζοντας τη στατιστική τεχνική του δειγματικού μέσου.

Προβλέπουμε τις επιδόσεις του αθλητή, για τα επόμενα δέκα χρόνια, με βάση τον μέσο όρο πραγματικών επιδόσεων όμοιων παικτών, οι οποίοι, όμως, έχουν περισσότερα χρόνια καριέρας. 

Χρησιμοποιούμε, δηλαδή, τα πραγματικά δεδομένα κατάταξης των ομοίων του Τσιτσιπά από την εποχή που διένυαν τη δεύτερη και την τρίτη πενταετία της καριέρας τους, προκειμένου να προβούμε σε εκτιμήσεις για την πορεία Τσιτσιπά τα επόμενα δέκα χρόνια.

Προκειμένου ο δειγματικός μέσος (δηλαδή, η πρόβλεψή μας) να μην επηρεάζεται από τυχόν ακραίες τιμές και παρά το γεγονός ότι η ομάδα Τσιτσιπά αποτελείται από μόλις δέκα μέλη (τον ίδιο και ακόμη εννέα παίκτες), αναζητούμε υπο-ομάδες όμοιων αθλητών εντός της κατηγορίας στην οποία έχει ενταχθεί ο Στέφανος Τσιτσιπάς. Μετρώντας την ευκλείδεια απόσταση κάθε παίκτη από το κέντρο του «cluster» (όπως αυτό υπολογίζεται από τον ίδιο τον αλγόριθμο k-means), βρίσκουμε: 

• υπο-ομάδα αθλητών α’ που βρίσκεται μακρύτερα του κέντρου του «cluster» –πρόκειται για παίκτες οι οποίοι παρουσιάζουν ελαφρώς καλύτερη κατάταξη από τον μέσο όρο των θέσεων που έχουν κατακτήσει οι αθλητές της κατηγορίας την εκάστοτε αγωνιστική σεζόν τους. Σε αυτήν την υπο-ομάδα α’, εμφανίζεται και ο Στέφανος Τσιτσιπάς.    
• υπο-ομάδα αθλητών β’ που είναι κοντά στο κέντρο του «cluster» –δηλαδή, οι θέσεις τους στην παγκόσμια κατάταξη δεν απέχουν πολύ από τον μέσο όρο των θέσεων που έχουν επιτύχει όλοι οι παίκτες της κατηγορίας την εκάστοτε αγωνιστική σεζόν τους

Με αυτό το δεδομένο, επιλέγονται αθλητές του «cluster» Τσιτσιπά από τις δύο διαφορετικές υπο-ομάδες, για δοκιμαστικές εφαρμογές του μοντέλου πρόβλεψης: με τη χρήση των δεδομένων τους από την πρώτη πενταετία της καριέρας τους, κάνουμε «ψευδοπροβλέψεις» για τα επόμενα έτη της επαγγελματικής διαδρομής τους, τις οποίες συγκρίνουμε με τα πραγματικά δεδομένα των θέσεών τους στην παγκόσμια κατάταξη. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, προκύπτει και το περιθώριο λάθους των προβλέψεών μας.

Συγκεκριμένα, για τους σκοπούς της δοκιμαστικής εφαρμογής του μοντέλου, επιλέγονται:

• ο Αλεξάντερ Ζβέρεφ, ο οποίος, παρά το γεγονός ότι μετρά μόλις επτά χρόνια επαγγελματικής καριέρας, ανήκει στην υπο-ομάδα α’ (όπως ο Στέφανος Τσιτσιπάς). Παρουσιάζει, επίσης, ιδιαίτερα όμοια πορεία με τον Τσιτσιπά και σήμερα αποτελεί έναν από τους βασικούς ανταγωνιστές του.
• οι Σταν Βαβρίνκα, Νταβίντ Φερέρ και Τόμας Μπέρντιχ, οι οποίοι, αφενός, έχουν περισσότερα από 15 χρόνια επαγγελματικής πορείας και, αφετέρου, ανήκουν στην υπο-ομάδα β’

Για τον Ζβέρεφ (υπο-ομάδα α’), η δοκιμή εφαρμόζεται με τη χρήση δειγματικού μέσου που προκύπτει μόνο από τις θέσεις των τεσσάρων αθλητών του «cluster», οι οποίοι εμφανίζουν τις καλύτερες θέσεις στην κατάταξη την εκάστοτε αγωνιστική σεζόν τους. Για τους Βαβρίνκα, Φερέρ και Μπέρντιχ (υπο-ομάδα β’), οι «ψευδοπροβλέψεις» γίνονται με τον υπολογισμό του δειγματικού μέσου επί του συνόλου των δεδομένων των παικτών του «cluster» την εκάστοτε αγωνιστική σεζόν εμφάνισης.

Όπως φαίνεται στο παρακάτω γράφημα, οι πραγματικές θέσεις κατάταξης των αθλητών συνήθως βρίσκονται μέσα στα όρια των προβλέψεων που κάνει το μοντέλο μας. 

Για τις προβλέψεις των θέσεων που ο Στέφανος Τσιτσιπάς μπορεί να κατέχει στην παγκόσμια κατάταξη την επόμενη δεκαετία, επιλέγεται ο τρόπος της πρόβλεψης που εφαρμόστηκε στην πολύ όμοια περίπτωση Ζβέρεφ: για τον υπολογισμό του δειγματικού μέσου, οι παίκτες με χαμηλότερες θέσεις κατάταξης από τη διάμεσο του «cluster» εξαιρούνται και το μοντέλο λαμβάνει υπόψη του τις θέσεις των παικτών με τις καλύτερες επιδόσεις κάθε φορά. 

Κοιτώντας πιο προσεκτικά την περίπτωση Ζβέρεφ και στον βαθμό που ο επιλεγμένος τρόπος υπολογισμού των προβλέψεων επηρεάζει την εκτιμώμενη πορεία Τσιτσιπά, αξίζει να σημειωθεί το εξής: Ενώ ο Ζβέρεφ είχε επιτύχει την τέταρτη θέση στην κατάταξη κατά την έκτη αγωνιστική σεζόν του, το μοντέλο προβλέπει την 11η θέση (μέση εκτίμηση) για τον ίδιο κατά την αντίστοιχη περίοδο, η οποία είναι και η πρώτη σεζόν πρόβλεψης. Αντίθετα, τις επόμενες σεζόν, το μοντέλο πρόβλεψης «ευθυγραμμίζεται» με τα πραγματικά επιτεύγματα Ζβέρεφ. Η «αστοχία» της πρώτης πρόβλεψης εξηγείται, εάν κανείς λάβει υπόψη του ότι η πορεία του Ζβέρεφ είναι όμοια με εκείνη των υπολοίπων παικτών του γκρουπ μετά την τρίτη αγωνιστική σεζόν της καριέρας του. Η ραγδαία ανέλιξη στην παγκόσμια κατάταξη, την οποία οι Ζβέρεφ και Τσιτσιπάς είχαν τα πρώτα χρόνια της διαδρομής τους, δεν παρατηρείται αντίστοιχα στην περίπτωση των κατά τα άλλα όμοιων αθλητών, δεδομένα των οποίων, όμως, «τροφοδοτούν» το μοντέλο και επηρεάζουν την εκτιμώμενη τιμή κατά την πρώτη σεζόν πρόβλεψης. 

Σημειώνεται, επίσης, ότι η δημιουργία ενός πολυμεταβλητού μοντέλου θα ήταν χρήσιμη, για ακόμα περισσότερο ρεαλιστικές προβλέψεις σε ανάλογο εγχείρημα στο μέλλον: στο τένις, η πορεία του αθλητή εξαρτάται σημαντικά από τη διαδρομή των αντιπάλων του. Με το παρόν μοντέλο, υφίσταται η υπόθεση εργασίας ότι ένας παίκτης p θα ακολουθήσει πορεία όμοια με τους n ομοίους του, χωρίς να είναι δεδομένο ότι οι αντίπαλοί του θα έχουν επιδόσεις όμοιες με εκείνες των αντιπάλων των ομοίων n που εδώ λαμβάνονται υπόψη.

Οπτικοποίηση δεδομένων

Η δημιουργία των γραφημάτων που οπτικοποιούν τη στατιστική ανάλυση των δεδομένων έγινε με χρήση της γλώσσας προγραμματισμού Python και της στατιστικής γλώσσας προγραμματισμού R.

Συγκεκριμένα, για τη δημιουργία των διαδραστικών γραφημάτων, χρησιμοποιήθηκε η βιβλιοθήκη Plotly Python Open Source Graphing Library, ενώ τα στατικά γραφήματα δημιουργήθηκαν με τη χρήση του πακέτου ggplot2 σε R. 

Ειδικά η οπτικοποίηση της ομάδας («cluster») Τσιτσιπά και της ομοιότητας μεταξύ των παικτών της επιλέχθηκε να γίνει με αραχνοειδές διάγραμμα (στα αγγλικά, λεγόμενο ως «spider plot», «radar plot» ή «polar plot»): το «radar plot» ενδείκνυται για τη συγκριτική οπτικοποίηση πολλαπλών (ποσοτικών) μεταβλητών σε δισδιάστατη μορφή. Ιδίως όταν οπτικοποιούνται περισσότερες από μία περιπτώσεις μελέτης, το σχήμα του «radar plot» είναι που εξυπηρετεί την οπτική σύγκριση. Στο πλαίσιο του συγκεκριμένου θέματος, όσο πιο πολύ μοιάζουν τα σχήματα των παικτών, τόσο πιο όμοιοι είναι οι αθλητές μεταξύ τους. Ωστόσο, το «radar plot» μπορεί να γίνει εξαιρετικά «δυσανάγνωστο», όταν υπάρχουν πολλά επικαλυπτόμενα σχήματα –όπως και εδώ, όπου η ανάγκη ήταν να οπτικοποιηθούν δεδομένα τουλάχιστον δέκα αθλητών («cluster» Τσιτσιπά). Για τον λόγο αυτό, επιλέχθηκε ο διαδραστικός σχεδιασμός, προκειμένου να είναι η εφικτή η αποεπιλογή παικτών ή η επιλογή συγκεκριμένων αθλητών προς σύγκριση. 

Για την οπτικοποίηση της κατανομής των 1.602 παικτών του dataset με βάση, για παράδειγμα, τα κέρδη τους σε σχέση με τις αγωνιστικές σεζόν τους, επιλέχθηκε το «εξαγωνικό πλέγμα» (στα αγγλικά, λεγόμενο ως «hexagonal binning», «hexbin plot» κλπ): το «hexbin plot» είναι μια προσέγγιση διαφορετική του διαγράμματος διασποράς (scatterplot), το οποίο συνήθως επιλέγεται για την οπτικοποίηση της σχέσης μεταξύ δύο ποσοτικών μεταβλητών. Όταν τα δεδομένα είναι τόσο πολλά, ώστε οι συνεχείς επικαλύψεις να μην αποδίδουν τη μέγιστη δυνατή πληροφορία, το «hexbin plot» ενδείκνυται, καθώς αποτυπώνει τη συγκέντρωση δεδομένων μέσα στα εξαγωνικά πλέγματα: εν προκειμένω, όσο πιο σκούρο μπλε είναι το χρώμα κάθε «hexbin», τόσο περισσότεροι αθλητές συγκεντρώνονται στο σημείο. 

Το παρόν είναι αποτέλεσμα συνεργασίας του iMEdD Lab με την ερευνητική ομάδα AUEB Sports Analytics Group, στόχος της οποίας είναι η προαγωγή της υλοποίησης ποσοτικής ανάλυσης υψηλού επιπέδου στα σπορ, σε ακαδημαϊκό και επαγγελματικό επίπεδο. Η ομάδα εργάζεται στον τομέα των λεγόμενων «Sports Analytics», περιλαμβανομένων θεμάτων όπως η δημιουργία στατιστικών μοντέλων και η πρόβλεψη αθλητικών αποτελεσμάτων, τα οικονομικά των σπορ, η ανάλυση απόδοσης, η οπτικοποίηση και η μέτρηση της ανταγωνιστικής ισορροπίας.